Теория вероятностей на практике

Теория вероятностей — математическая основа работы с неопределённостью. Она противоречит интуиции во многих случаях. Понимание основ — важный интеллектуальный инструмент.

Базовые правила

Вероятность события P(A) — число от 0 до 1. 0 = невозможно, 1 = определённо произойдёт.

P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B). Для несовместных событий P(A и B) = 0.

P(A и B) = P(A) × P(B|A). Где P(B|A) — условная вероятность B при условии A.

Условная вероятность

Важнейшее понятие. "Вероятность болезни у пациента с положительным тестом" ≠ "вероятность положительного теста у больного". Это разные вещи.

Теорема Байеса

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

Позволяет "переворачивать" условную вероятность. Фундаментальна для медицины, юриспруденции, ИИ.

Классический пример

Тест на болезнь: чувствительность 99% (правильно определяет больных), специфичность 99% (правильно определяет здоровых). Болеют 1% населения.

Тест положителен. Какова вероятность, что вы больны?

Большинство скажет 99%. Правильный ответ — 50%. Вот почему:

Из 10000 человек: 100 больных, 9900 здоровых. Тест положителен у: 99 больных + 99 здоровых (1% от 9900). Всего 198 положительных тестов. Из них 99 — больные. 99/198 = 50%.

Применения

• Медицина: интерпретация тестов, принятие решений
• Юриспруденция: оценка доказательств (ДНК-матч, свидетельства)
• ИИ: байесовские нейросети
• Финансы: оценка рисков
• Политика: интерпретация опросов

Ошибки интуиции

• Игнорирование базовой частоты (prior)
• Путаница между P(A|B) и P(B|A)
• Ошибка игрока — "после 5 орлов должна быть решка"
• Недооценка маленьких вероятностей ("со мной не случится")

Применение в жизни

Оценивая новую информацию, спрашивайте: какой была моя вероятность до этого? Насколько эта информация её меняет? Именно так работает Байес.